بسیاری از دانشجویانی که در سالهای ارشد ریاضیات عالی می خوانند احتمالاً تعجب کرده اند: معادلات دیفرانسیل (DE) در عمل کجا اعمال می شوند؟ به عنوان یک قاعده ، این موضوع در سخنرانی ها مورد بحث قرار نمی گیرد و معلمان بلافاصله به سراغ حل DE می روند بدون اینکه دانش آموزان در مورد کاربرد معادلات دیفرانسیل در زندگی واقعی توضیح دهند. سعی خواهیم کرد این خلا را پر کنیم.
بیایید با تعریف یک معادله دیفرانسیل شروع کنیم. بنابراین ، معادله دیفرانسیل معادله ای است که مقدار مشتق یک تابع را با خود تابع ، مقادیر متغیر مستقل و برخی از اعداد (پارامترها) متصل می کند.
متداول ترین منطقه ای که در آن معادلات دیفرانسیل اعمال می شود ، توصیف ریاضی پدیده های طبیعی است. آنها همچنین در حل مشکلات استفاده می شوند که ایجاد رابطه مستقیم بین برخی از ارزشهای توصیف کننده یک فرآیند غیرممکن است. چنین مشکلاتی در زیست شناسی ، فیزیک ، اقتصاد بوجود می آید.
در زیست شناسی:
اولین مدل ریاضی معنی دار توصیف کننده جوامع بیولوژیکی ، مدل Lotka - Volterra بود. این یک جمعیت از دو گونه متقابل را توصیف می کند. اولین آنها ، به نام شکارچیان ، در غیاب مورد دوم ، مطابق قانون x ′ = –ax (a> 0) می میرد ، و دوم - طعمه - در غیاب شکارچیان به طور نامحدود مطابق با قانون افزایش می یابد از مالتوس. تعامل این دو نوع به شرح زیر مدلسازی می شود. قربانیان با سرعتی برابر با تعداد برخوردهای شکارچیان و طعمه ها می میرند که در این مدل متناسب با اندازه هر دو جمعیت فرض می شود ، یعنی برابر با dxy (d> 0). بنابراین ، y ′ = توسط - dxy. شکارچیان متناسب با تعداد طعمه های خورده شده تولید مثل می کنند: x ′ = –ax + cxy (c> 0). سیستم معادلات
x ′ = –ax + cxy ، (1)
y ′ = توسط - dxy ، (2)
طعمه درنده ای که چنین جمعیتی را توصیف می کند ، سیستم (یا مدل Lotka-Volterra) نامیده می شود.
در فیزیک:
قانون دوم نیوتن را می توان در قالب یک معادله دیفرانسیل نوشت
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x، t) ،
که در آن m جرم بدن است ، x مختصات آن است ، F (x ، t) نیرویی است که با مختصات x در زمان t بر روی بدن وارد می شود. راه حل آن سیر حرکت بدن تحت عمل نیروی مشخص شده است.
در اقتصاد:
مدل رشد طبیعی تولید
ما فرض خواهیم کرد که برخی از محصولات با قیمت ثابت فروخته می شوند. بگذارید Q (t) مقدار محصولات فروخته شده در زمان t را نشان دهد. سپس در این مرحله از زمان درآمد برابر با PQ (t) است. بگذارید بخشی از درآمد مشخص شده صرف سرمایه گذاری در تولید محصولات فروخته شده شود ، یعنی
I (t) = mPQ (t) ، (1)
که در آن m نرخ سرمایه گذاری است - یک عدد ثابت و 0
